Skala - zadania

Skalę wyrażamy za pomocą ułamka. Odzwierciedla ona stosunek odległości (powierzchni) na mapie do odległości (powierzchni) rzeczywistych w terenie. Może ona przyjąć postać: 
a) liczbową (wyrażona jest w postaci ilorazu, np. 1 : 50 000)
b) mianowaną (liczby zaopatrzone są w miana, np. 1 cm - 20 km, 1 cm - 100 m)
c) liniową - czyli formę podziałki (wyrażona jest w postaci graficznej, za pomocą odcinka podzielonego na równej długości części, których wartość UWAGA! wcale nie musi być równa 1 cm! Przed obliczeniami zawsze dokonaj zatem jego pomiaru!) 


Rozwiązując zadania musisz przede wszystkim pamiętać, że:

1 cm = 10 mm

1 m = 100 cm

1 km = 1 000 m

1 km = 100 000 cm 

Zad. 1.

Podane skale zapisz w postaci mianowanej:

a) 1 : 25 000

b) 1 : 1 250 000

c) 1 : 100 000

d) 1 : 300 000

e) 1 : 2 500 000

f) 1 : 15 000 000

Odp.: 

a) 1 : 25 000      co to znaczy?      1 cm na mapie odpowiada 25 000 cm w terenie, zatem:

1 cm - 25 000 cm     lub     1 cm - 250 m     lub     1 cm - 0,25 km

wszystkie odpowiedzi są prawidłowe, jednak najbardziej poprawnym zapisem wydaje się być zapis ..... (no właśnie, jak sądzisz?) ..... zapis drugi, czyli 1 cm - 250 m

b) 1 cm - 12,5 km

c) 1 cm - 1 km

...

Zad. 2.

Podane skale zapisz w postaci liczbowej:

a) 1 cm - 5 km

b) 1 cm - 300 m

c) 1 cm - 500 km

d) 1 cm - 500 m

e) 1 cm - 22 km

f) 1 cm - 2,5 km

Odp.:

Zwróć uwagę na jednostkę!!!

a) należy dążyć do tego, aby po obu stronach "dwukropka" było jednakowe miano wyrażone w cm, czyli zamieniamy drugą wartość na cm:

1 : 5................... - ile zer? kilometry zamieniamy na centymetry i otrzymujemy 1 : 500 000

b) 1 : (ile centymetrów jest w jednym metrze? - 100 czyli do wartości 300 dodajmy dwa zera) 1 : 30 000

c) 1 : 50 000 000

...

Zad. 3.

Odczytaj skale podziałek zamieszczonych na rysunku. Podaj je w postaci mianowanej i liczbowej.

Aby uniknąć zetknięcia linijki z monitorem, proponuję najpierw wydrukować sobie rysunek! : )

Zad. 4.

Która z podanych skal jest mniejsza? Oblicz ile razy.

a) 1 : 200 000 000     b) 1 : 10 000 000

Podpowiedź:

Pamiętaj skala jest ułamkiem. Oto na nią wzór:

                                ODLEGŁOŚĆ NA MAPIE 

SKALA MAPY   =  ------------------------------------------        

                               ODLEGŁOŚĆ W TERENIE                                                                                      

Ułamek jest tym mniejszy im większą liczbę posiada w mianowniku! Tak samo jest i ze skalą!

Zad. 5.

W każdym zestawie (1-4) podkreśl większą skalę mapy.

1) 1 cm - 5 km            1 : 100 000

2) 1 : 50 000 000        1 : 500 000

3) 1 cm - 7 km            1 cm - 25 km

4) 1 : 3 000 000          1 cm - 30 km

Zad. 6.

Przedstawione niżej skale map uszereguj od najmniejszej do największej.

a) 1 cm - 100 km,   b) 1 : 100 000,   c) 1 : 100 000 000,   d) 1 cm - 100 m

Podpowiedź do zad. 5 i 6

Doprowadź skale do takiej samej postaci, proponuję liczbowej.

Zad. 7.

Oblicz skale mapy, na której odległość między miejscowościami wynosi:

a) 6 cm, podczas gdy odległość między nimi w terenie wynosi 1 200 km,

b) 4 cm, podczas gdy odległość między nimi w terenie wynosi 800 m.

Odp.

a)  nasze dane:

     sześć centymetrów na mapie odpowiada tysiąc dwustu kilometrom w terenie,

     nasza niewiadoma:

     a jeden centymetr na mapie ilu odpowiada kilometrom w terenie?

     zapiszmy to w ten sposób:

     6 cm   ---->   1 200 km

     1 cm  ---->   x

     x = 1 cm * 1 200 km / 6 cm = 200 km

     1 cm - 200 km lub jak kto woli 1 : 20 000 000

Analogicznie, według powyższej instrukcji rozwiąż podpunkt b.

Zad. 8.

Odległość między Suwałkami a Augustowem w linii prostej wynosi 30 km. Na mapie w jakiej skali odległość ta wynosi:

a) 30 cm

b) 3 cm

c) 12 cm

d) 15 cm

Odp.

a) podobnie jak w zadaniu 7!

     30 km w terenie odpowiada 30 cm na mapie,

     ilu km w terenie odpowiada 1 cm na mapie.

     30 km ---->    30 cm

         x     ---->   1 cm

     x = 30 km * 1 cm / 30 cm = 1 km

     1 cm - 1 km lub 1 : 100 000

czas na: b, c, d.

Zad. 9.

Oblicz  skale map, na których odległość pomiędzy miejscowościami wynosi:

a) 5 cm, podczas gdy na mapie w skali 1 : 300 000 miejscowości te leżą w odległości 15 cm,

b) 2 cm, podczas gdy na mapie w skali 1 : 20 000 miejscowości te leżą w odległości 5 cm.

Odp.

a) Zadanie to wykonajmy etapowo:

I.   "obliczenie" odległości w terenie odpowiadającej 1 cm na mapie w skali 1 : 300 000

     1 : 300 000

     1 cm - 300 000 cm

     1 cm - 3 km

II.  obliczenie odległości pomiędzy miejscowościami

     1 cm - 3 km

     15 cm - x

     x = 15 cm * 3 km / 1 cm = 45 km

III.porównanie odległości na mapie dla której wyznaczamy skalę, do obliczonej wyżej (punkt II) odległości w terenie

     5 cm - 45 km

     1 cm - x

     x = 1 cm * 45 km / 5 cm = 9 km

IV. zapisanie skali w postaci liczbowej

     1 cm - 9 km

     1 : 900 000

Teraz Twoja kolei - patrz podpunkt b)

Zad. 10.

Oblicz skalę mapy wiedząc, że odległości 156 km na powierzchni ziemi odpowiada na mapie odcinek długości 26 mm.

Odp.

26 mm - 156 km

1 cm - x

UWAGA! Nie zgadzają się jednostki! wyżej mm niżej cm! Pamiętając, że 1 cm = 10 mm, zamieniamy 26 mm na 2,6 cm, czyli poprawny zapis wyglądać będzie tak:

2,6 cm - 156 km

1 cm - x

x = ... (dalej już sobie powinieneś poradzić)

Zad. 11.

Oblicz ile km wynosi odległość w terenie między dwoma miastami, jeśli na mapie w skali 1 : 400 000 odległość ta wynosi 53 mm.

Zad. 12.

Oblicz odległość między miejscowościami A i B w terenie, gdy na mapie w skali 1 : 40 000 wynosi ona 5 cm.

Zad. 13.

Oblicz odległość między miejscowościami A i B na mapie w skali 1 : 1 000 000, gdy w terenie odległość ta wynosi: a) 20 km,   b) 300 km,   c) 500 m. 

Czas na powierzchnię!!!

Narysuj kwadrat o boku 4 cm. Teraz narysuj go w skali 1 : 2. Co musisz zrobić? Otóż, aby narysować kwadrat w skali 1 : 2 długość boku zmniejszasz o połowę, natomiast powierzchnia nowo narysowanej figury została zmniejszona czterokrotnie. Zapamiętaj to, przyda Ci się do rozwiązania kolejnych zadań.

Uważnie spójrz na załączony obok rysunek - mam nadzieję, że dostrzegasz zależność o której teraz czytasz!

I jeszcze jedno: rozpoczynając rozwiązywanie tego typu zadania musisz zamienić skalę mianowaną na tzw. skalę polową (podnosimy wartość do kwadratu!). Dalsze czynności obliczeniowe pozostają bez zmiany...  

Zad. 14.

Na mapie w skali 1 : 300 000 las zajmuje kwadrat o boku 7 cm. Oblicz, jaką powierzchnię zajmuje las w terenie.

Odp.

pierwszy sposób rozwiązania:

I. liczymy długość boku kwadratu w terenie

   1 cm - 300 000 cm

   1 cm - 3 km

   7 cm - x

   x = 7 cm * 3 km / 1 cm = 21 km

II. liczymy powierzchnię kwadratu mnożąc długość kwadratu przez długość kwadratu, czy jak kto woli: biorąc długość kwadratu do kwadratu... : )

   21 km * 21 km = 441 km kwadratowych

drugi sposób rozwiązania:

dane:

   skala mapy 1cm  - 300 000 cm, inaczej 1 cm - 3 km.

   powierzchnia na mapie 7 cm x 7 cm, czyli 49 cm kwadratowych

niewiadoma x:

   powierzchnia rzeczywista lasu

1 cm - 3 km

1 cm kwadratowy - 3 km kwadratowe, czyli

1 cm kwadratowy - 9 km kwadratowych

49 cm kwadratowych - x

x = 49 cm kwadratowych * 9 km kwadratowych / 1 cm kwadratowy = 441 km kwadratowych

Zad. 15.

Na mapie w skali 1 : 100 000 narysowano park narodowy, który w terenie zajmuje kwadrat o powierzchni 36 km kwadratowych. Oblicz, jaką powierzchnię zajmie ten obiekt na mapie w podanej skali.

Odp. 36 cm kwadratowych

Zad. 16.

Na mapie w skali 1 : 125 000 zaznaczono sztuczny zbiornik wodny o rzeczywistej powierzchni 25 km kwadratowych. Oblicz powierzchnię, którą zajmuje ten zbiornik na mapie w podanej skali.

Odp. 16 cm kwadratowych

Zad. 17.

Na mapie w skali 1 : 25 000 zmierzono pole powierzchni wyspy i otrzymano 3 232 mm kwadratowe. Oblicz powierzchnię wyspy w naturze. Wynik podaj w km kwadratowych. 

Zad. 18.

Oblicz pole powierzchni, którą zajmuje jezioro Żarnowieckie na mapie w skali 1 : 220 000 wiedząc, że naturalny obszar jeziora wynosi 1 432 ha.

Pamiętaj!

1 hektar to pole powierzchni kwadratu o boku 100 metrów,

1 ha = 10 000 m kwadratowych

1 ha = 100 a

Zad. 19.

Oblicz odległość rzeczywistą pomiędzy punktem A (położonym na wysokości 350 m), a punktem B (1 250 m n.p.m.), gdy odległość ta na mapie o skali 1 : 80 000 wynosi 35 cm.

Odp.

policzmy odległość pomiędzy punktami w terenie, bez uwzględnienia ich wysokości n.p.m. 

1 : 80 000

1 cm - 80 000 cm

1 cm - 0,8 km

35 cm - x

x = 35 cm * 0,8 km / 1 cm = 28 km

potrzebna będzie wysokość względna, policzymy zatem różnicę wysokości pomiędzy punktami:

1 250 m n.p.m. - 350 m n.p.m. = 900 m

Gdybyśmy chcieli przedstawić tę sytuację w sposób graficzny, to należałoby narysować trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna obrazująca długość (b) wynosi 28 km, a druga (a) -  wysokość 0,9 km (już po zamianie m na km).

Szukamy "odległości rzeczywistej" czyli c. Do tego celu wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:

a^kw + b^kw = c^kw     (^kw - oznacza potęgę kwadratową)

Powróćmy do naszych wartości:
28^kw + 0,9^kw = x^kw

x^kw = 784 + 0,81

x^kw = 784,81

x = 28,01446...    (jeszcze jednostka!?)    km